Gjesvær liegt in der Kommune Måsøy im Bezirk Finnmark. Es handelt sich um eine Landpoststelle, die am 13.12.1851 unter dem Namen GJÆSVÆR in der damaligen Gemeinde Maasø im Bezirk Hammerfest eröffnet wurde. 1889 erfolgte eine Namensänderung in GJESVÆR. Ab Ende 1944 bis 1.5.1946 war die Landpoststelle aufgrund von Kriegshandlungen geschlossen. Am 18.3.1968 wurde der Landpoststelle die PLZ 9765 zugeteilt und am 1.11.19773 erfolgte die Ernennung zum Unterpostamt bzw. am 1.1.1977 zum Postamt der Klasse C.